Obeb Okek

YGS-LYS Obeb Okek

Konu Anlatımı
Soru Çözümleri
Testler
...

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)
OBEB iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.
1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b aralarında asal iki sayı ise
(a b)OBEB = 1 dir.
2. Aynı zamanda ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani a b c d e sayılarından a ile b aralarında asal ise
(a b c d e)OBEB = 1 dir.
3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir.
4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere
(a  b)OKEK = 1 dir.
Örnek 1:
18 30 42 sayılarının OBEB' i kaçtır?
Çözüm:
1. Yol:

18 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla
(18 30 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır.
2. Yol:
18 = 2.32
30 = 2.3.5
42 = 2.3.7
Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla
(18 30 42)OBEB = 2.3 = 6 dır.
Örnek 2:
100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır?
Çözüm:
1. Yol:

100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla
(100 120)OBEB = 22 . 5 = 4 . 5 = 20 dir.
2. Yol:
100 = 22.52
120 = 23.3.5
Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla
(100 120)OBEB = 22.5 = 20 dir.
Örnek 3:
6 15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır?
Çözüm:
İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için
(6 15 29)OBEB = 1
dir.
Örnek 4:
100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
(100 120)OBEB = 22.51 = 20
olduğundan pozitif bölenlerinin sayısı
( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6
bulunur. Buradan tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan
2 . 6 = 12 olur.
Örnek 5:
Boyutları 9 cm 12 cm 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 9 cm 12 cm 15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle
(9 12 15)OBEB = 3 tür. Böylece en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60
tane olur.
Örnek 6:
Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?
Çözüm:
İki ağacın arasındaki uzaklık dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla
(24 60)OBEB = 12
Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14
dir.

OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)
İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.
1. Aralarında asal sayıların OKEK' i bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise
(a b)OKEK = a . b dir.
2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani a ve b doğal sayısı için
a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB dir.
3. a b c d sayma sayıları olmak üzere
(a/cb/d)OKEK = (a b)OKEK / (c d)OBEB dir.
4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere
(a b)OKEK = x ve (a b)OBEB = y
ise a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir.
5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere
(a b)OKEK = a . b dir.
6. a ile b sayma sayıları olmak üzere a < b ise
(a b)OBEB <= a <= b <= (a b)OKEK dir.
Örnek 1:
18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.
Çözüm:
1. Yol:
18 = 2 . 32
45 = 32 . 5
olduğundan (18 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.
2. Yol:

(18 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır.
Örnek 2:
a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
a = 16 olsun. (16 b)OKEK = 48 ve (16 b)OBEB = 8 olduğuna göre
a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB
16 . b = 48 . 8
b = 24
bulunur.
Örnek 3:
Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden
120 + 8 = 128 dir.
Örnek 4:
Boyutları 2 cm 4 cm 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 2 cm 4 cm 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle
(2 4 6)OKEK = 12 tür. Böylece en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36
tane olur.
Örnek 5:
a b c asal sayılar olmak üzere
x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2
ise (x y)OBEB = ? ve (x y)OKEK = ? bulunuz.
Çözüm:
(x y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2
(x y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.
Örnek 6:
Ayşe toplarını 2' şer 2' şer 4' er 4' er 6' şar 6' şar sayarsa her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır?
Çözüm:
Top sayısı = (2 4 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.
Örnek 7:
2 3 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
[(2 3 4)OKEK] . k + 1 <= 99
24 . k + 1 <= 99
k = 4 olur. Buradan sayı
24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur.
Örnek 8:
İki yangın sireni 5/7 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?
Çözüm:
Yangın sirenleri 5/7 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla
(5/7 7/8)OKEK = (5 7)OKEK / (7 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat
sonra tekrar alarm verirler. O halde Cumartesi günü saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir.
Örnek 9:
Bir a doğal sayısı 5/3 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?
Çözüm:
5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde
(5/3 6)OKEK = (5 6)OKEK / (3 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.
Örnek 10:
OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?
Çözüm:
(a b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre
a = 7 ve b = 7
alınabilir. Bu durumda a ile b' nin toplamının en büyük değeri
a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)
olur. Diğer taraftan
a = 1 ve b = 7 alınırsa a ile b' nin toplamının en küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 ... (2)
olur. Buradan (1) ile (2) nin çarpımı
14 . 8 = 112
bulunur...